Algorytm O (√n) do sprawdzania liczby pierwszej w Pythonie. Zdarza się, że czynniki liczby występują parami. Jeśli a jest czynnikiem liczby n, to istnieje również czynnik b taki, że axb = n lub po prostu ab = n. Sprawdźmy to na przykładzie. Poniższa tabela przedstawia współczynniki liczby 18 występujące parami.
Liczby rzeczywiste są to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Liczby rzeczywiste można utożsamiać z punktami na osi liczbowej. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt na osi liczbowej odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy jako \(R\) i obejmuje on wszystkie rodzaje liczb. Każda liczba rzeczywista, gdy jest liczbą wymierną ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, a gdy jest liczbą niewymierną - nieskończone nieokresowe. Moc zbior liczb rzeczywistych wynosi continuum \(\mathfrak{c}\). W zbiorze liczb rzeczywistych wykonywane są następujące działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. Przykłady liczb rzeczywistych: \(0, \: 7, \: \sqrt{15}, \: \pi, \: \dfrac{1}{2}\) Zobacz również Obwód trapezu Twierdzenie Talesa Kąt ostry Granica ciągu Zdarzenia niezależne Zdarzenie losowe Ciąg arytmetyczny NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność Obwód równoległoboku Kąt pełny Nierówności z wartością bezwzględną Przestrzeń probabilistyczna Hiperbola Mnożenie ułamków dziesiętnych Dowód - istota
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x/2≤ (2x)/3+1/4 jest A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 - rozwiązanie zadania
Odpowiedzi Liczby rzeczywiste to jeden z najważniejszych zbiorów w całej matematyce. Intuicyjne ich definicja jest dość prosta - liczbą rzeczywistą utożsamiamy z odegłóścią na zauwarzyć że zarówno zbiór liczb naturalnych jak i całkowitych zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych ( zwyczajowo określanym dużą literką R). W pewnych przypadkach odległość może przecież być równa jedności, lub wielokrotności wymierne można ustawić w ciąg nieskończony. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C, do którego należą wszystkie liczby dające się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Liczby niewymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R. Liczb niewymiernych nie można przedstawić w postaci ułamka: EKSPERTHerhor odpowiedział(a) o 22:35 Uwagi cztery:a) Liczby naturalne to liczby całkowite od 1, a nie od 0. 0 nie jest liczbą naturalną.(patrz np. W. Sierpiński: Teoria Liczb rozdz. I)b) Nie ma liczb "wymierzalnych" tylko WYMIERNEc) Liczby rzeczywiste są to wszystkie możliwe GRANICE CIĄGÓW liczb wymiernych. Niektóre z tych granic są też wymierne, ale w większości niewymierne są dwóch rodzajów: algebraiczne (które są miejscami zerowymi wielomianów o wsp. wymiernych) i niealgebraiczne czyli przestępne, jak pi czy eNo i warto dodać, że zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych... Herhor-przepraszam za błędy, lecz co do zera to wbrew nazwie należy do całkowitych-tu też przepraszam, że napisałem o naturalnych. Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych. Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych jest to najmniejsza liczba naturalna której dzielnikami są obie te liczby. Na przykład dla liczb 3 i 4 jest to 12, bo 12 jest najmniejszą liczbą naturalną, której dzielnikami są liczby 3 i 4. Dla liczb 4 i 10 jest to 20, bo 20 jest najmniejszą liczbą naturalną
jeśli a, b e R, to a + b e R, a-b e R, a-b e R, a:b e R (gdy b^O).Działanie ( + ) i (■) są przemienne: a + b = b + a, a-b = b-a. Działania (+) i (•) są łączne: (a+b) + c = a + (b + c), {a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c). Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania: (a + b)- c = a- c + b- c. Istnieją elementy neutralne dodawania i mnożenia: a + 0 = a, a- 1 =a. Dla każdej liczby aeR istnieje liczba przeciwna — atzn. a + ( — a) = 0. Dla każdej liczby rzeczywistej a^O istnieje liczba odwrotna - tzn. Do tej pory często używaliśmy pojęcia zbiór. Jest to pojęcie pierwotne, tj. takie, którego nie definiujemy. Konkretny zbiór można określić w dwojaki sposób :wymieniając wszystkie jego elementy, np. B= {1,2,3,4,5}, podając własności, które mają wszystkie jego elementy i tylko one,np. B={x:xeN, 0(dla każdego x mamy x e Aox e B)Zbiór A jest podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B:A c Bo (dla każdego x mamy x e A => x e B). Sumą zbiorów A i B nazywamy taki zbiór A u B, którego elementami są wszystkie te elementy, które należą do A lub należą do B:xeAuBo(x£A lub x e B) Iloczynem zbiorów A i B (częścią wspólną) nazywamy taki zbiór A n B, którego elementami są wszystkie te elementy, które należą do A i należą do B: W dalszym ciągu będziemy rozważać przeważnie zbiory liczbowe N, C, W, R i pewne ich Niech A = {1,2,3,4,5}, B= (3,4,5,6,7). WyznaczamyA u B = { 1,2,3,4,5,6,7},/lnB = {3,4,5}, A\B{\,2}, B\A = {6,7}.• Niech C6 będzie zbiorem dzielników dodatnich liczby 6, zaś C8— zbiorem dzielników dodatnich liczby elementy zbiorów Cb i C8. Wyznacz C6 n C8, C6 u = {1,2,3,6}, Q = {1,2,4,8}, C6r>CH = {1,2}, C6uC8 = {1,2,3,4,6,8}.Dany jest zbiór A = {1,2,3,4}. Podzbiorami zbioru A są zbiór pusty0, cały zbiór A oraz każdy zbiór zawierający tylko elementy zbioruA. Wszystkich takich podzbiorów jest 16: 0, A, {1}, {2}, {3}, {4},{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}. Niech W będzie zbiorem liczb wymiernych, W — zbiorem liczbniewymiernych. Wyznacz zbiory WnW\ WuW\ W\W. Dane zbiory są rozłączne, tzn. nie mają żadnego wspólnego elementu. Wobec tego WnW'=0, WuW'=R, W\W=W. -6 -5 -4 -3 -2-10 1
Nasz system liczbowy jest systemem dziesiątkowym. W takim systemie do zapisywania liczb będziemy używać dziesięciu cyfr. W ten sposób jesteśmy w stanie budować liczby zarówno jednocyfrowe (np. 5 5 lub 8 8 ), jak i dwucyfrowe (np. 43 43 lub 87 87 ), trzycyfrowe ( 154 154 lub 877 877 ), czterocyfrowe ( 1544 1544 lub 4562 4562) itd. 3.
Zakres szkoły podstawowej. RÓWNANIA: ax+b=0 Jeżeli dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączmy symbolem „=”, to otrzymamy równanie. Zmienną(zmienne) nazywamy wtedy niewiadomą(niewiadomymi). Część wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których utworzone jest równanie, nazywamy dziedziną równania. Na ogół dziedziną równań jest zbiór liczb rzeczywistych R. 3(x+5)=2x+20; 2x=8. Są to równania z jedną niewiadomą, gdyż występuje w nich tylko jedna zmienna. Dziedziną ich jest zbiór liczb R. Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy liczbę należącą do dziedziny równania, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej zmienia to równanie w równość(tzn. w zdanie prawdziwe). Jeśli pewna liczba jest rozwiązanie równania, to mówimy, że spełnia ona to równanie. Rozwiązać równanie, tzn. znaleźć zbiór wszystkich rozwiązań tego równania. Zbiór może się składać z jednego lub z kilku rozwiązań, może być zbiorem pustym lub nieskończonym. Np. równanie 2x+1=5 ma jedno rozwiązanie x=2 (dla a0 x=) Równanie x=1 ma dwa rozwiązania x1=1, x2=-1 Równanie x=-4 nie ma rozwiązania, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną Równanie 2x+6=2(x+3) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania (dla a=0 i b=0). Dwa równania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają takie same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Równania rozwiązujemy przekształcając je równoważnie, wykorzystując twierdzenia o równoważności równań. Twierdzenie 1 Jeżeli po jednej lub po obu stronach równania wykonamy występujące tam działania albo przeprowadzimy redukcje wyrazów podobnych, to otrzymamy równanie równoważne danemu. wykonujemy mnożenie po lewej stronie 3x+15-4x-8=10-3x wykonujemy redukcje wyrazów podobnych po lewej stronie -x+7=10-3x Twierdzenie 2 Jeżeli do obu stron równania dodamy( lub od obu stron równania odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy równanie równoważne danemu równaniu. Np. –x+7=10-3x |+3x –x+7+3x =10-3x+3x |-7 –x+7+3x-7 =10-3x+3x-7 | redukcja wyrazów podobnych -x=3x=10-7 2x=3 W praktyce mówmy o przenoszeniu jednomianów(wyrazów równania) z jednej strony równania na drugą, z przeciwnym znakiem. Twierdzenie 3 Jeśli obie strony równania pomnożymy(podzielimy) przez te samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu. Np. 2x=3 |:2 x=1,5 Rozwiązaniem równania jest liczba 1,5. RÓWNANIA LINIOWE Równanie, które po przekształceniach równoważnych można sprowadzić do postaci ax+b=0, gdzie a i b są ustalonymi liczbami, a x – niewiadomą, nazywamy równaniem liniowym lub równaniem pierwszego stopnia w przypadku, gdy a0. Aby rozwiązać równanie, szukamy miejsc zerowych funkcji liniowej xax+b lub b). (2x+3) -(3x+9)=(x+3)(x-3)+3x Przy rozwiązywaniu równań stosujemy co układa się nam w schemat: 1) Po obu stronach równania wykonujemy występujące tam działania. 2) Jednomiany zawierające niewiadomą poznosimy na jedną stronę równania, a jednomiany będące liczbami-na drugą stronę. Przenosząc jednomian z jednej strony na drugą, zmieniamy znak tego jednomianu na przeciwny. 3) Po obu stronach równania przeprowadzamy redukcje wyrazów podobnych. 4) Obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej. Rozwiązując równania: Np. a). x=2 lub b). x=-1 –rozwiązaniem równania jest liczba c).3(x+2)=2(x+1)+x+4 0*x=0 - rozwiązaniem jest każda liczba R, bo 0*[cokolwiek]=0. d).4(x+1)-3(2x+3)=-2+8 0*x=13 -równanie nie ma rozwiązania. NIERÓWNOŚCI LINIOWE Jeżeli dwa wyrażenia algebriczne, z których przynajmniej jedno zawiera zmienna, połączymy jednym z symboli„>” lub „”to otrzymamy nierówność. Zmienna występująca w nierówności to niewiadoma. Cześć wspólną dziedzin obu wyrażeń algebraicznych, z których jest utworzona nierówność, nazywamy dziedziną nierówności. Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy taką liczbę (należącą do dziedziny nierówności), która podstawiona do nierówności w miejsce niewiadomej zamienia tę nierówność w zadanie prawdziwe. Jeśli pewna liczba jest rozwiązaniem danej nierówności, to mówimy, że spełnia ona tę nierówność. Rozwiązać nierówność tzn. znaleźć jej zbiór rozwiązań. Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, gdy mają te same dziedziny i te same zbiory rozwiązań. Nierówności rozwiązujemy wykorzystując twierdzenia o równoważności nierówności: Twierdzenie 1 Jeżeli po jednej lub po obu stronach nierówności wykonamy występujące tam działania a, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 2 Jeżeli do obu stron nierówności dodamy( lub od obu stron nierówności odejmiemy) ten sam jednomian, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 3 Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę dodatnią różną od zera, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Twierdzenie 4 Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez te samą liczbę ujemną zmieniając jednocześnie zwrot tej nierówności na przeciwny, to otrzymamy nierówność równoważną danej. Jeżeli nierówność po uporządkowaniu ma postać ax+b>0, ax+b0, ax+b0, to nazywamy ją nierównością liniową. |*4 (z 12x+4-x+3>16x-8 (z 12x-3-16x>-8-4-3 (z -5x>-15 x Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb R mniejszych od 3. Rozwiązanie algebraiczne: x(-,3) Rozwiązanie graficzne: b).(x-2) 0 Zbiorem rozwiązań jest R, ponieważ kwadrat dowolnej liczby R jest liczba nieujemną, więc rozwiązaniem jest tu każda liczba rzeczywista. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE Równanie postaci ax+bx+c=0, gdzie a0 nazywamy równaniem kwadratowym. Aby rozwiązać równanie(postaci ax+c=0), szukamy miejsc zerowych funkcji x ax+c Np. a) (x-1) +(2x+4)=2x+9 x=-4 Równanie to nie ma rozwiązania, gdyż nie ma liczby R, której kwadrat jest liczbą ujemną. b). 10(x-1)+(3x-1) =(2x+1) +(2x+3) (2x-3) x-1=0 (x-1)(x+1)=0 x1=1 lub x2=-1 Równanie to ma dwa rozwiązania. Nierówności kwadratowe w postaci ax+c>0 lub ax+c kwadratowej. Aby rozwiązać nierówności w tej postaci, szukamy odpowiedzi na pytanie, dla jakich argumentów x funkcja x ax+c przyjmuje odpowiednio wartości dodatnie lub ujemne. Np. x-9>0 Rysujemy wykres funkcji y= x-9 Z wykresu odczytujemy dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie Dla x3 Np. x+4<0 Cały wykres funkcji y= x+4 jest powyżej osi x. Oznacza to, że dla każdej wartości argumentu x wartość tej funkcji jest dodatnia. Dlatego zbiorem nierówności jest zbiór pusty. ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH Aby rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania lub nierówności postępujemy następująco: 1) Obieramy niewiadomą i oznaczamy ją dowolną literą, 2) Za pomocą obranej niewiadomej i danych z zadania wyrażamy wielkości występujące w zadaniu. 3) Wyszukujemy wielkość występującą w zadaniu, którą możemy opisać za pomocą niewiadomej i danych na dwa różne sposoby. 4) Układamy równanie(nierówność). 5) Sprawdzamy, które rozwiązania równania(nierówności) spełniają warunki zadania. 6) Formułujemy odpowiedź. Np. Spośród czterech liczb każda następna jest o 4 mniejsza od poprzedniej. Iloczyn pierwszej i drugiej tych liczb jest Rozwiązanie: x-największa z szukanych liczb x-4 – II liczba x-8 – III licza x-12 – IV liczba najmniejsza Po uwzględnieniu warunku podanego w zadaniu otrzymujemy: x(x-4)=(x-8)(x-12)+224 16x=320 Stąd: x=20, x-4=16, x-8=12, x-12=8 Otrzymamy liczby spełniają warunki zadania, gdyż 20*16=320, 12*8=96, i 320-96=224 Odp: Szukanymi liczbami są: 20, 16, 12, 8. UKŁADY RÓWNAŃ Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci ax+by+c=0 (gdzie x, y – niewiadome , a, b, c – ustalone liczby a0 b0) lub równanie równoważne danemu. Równoważność równań z dwiema nie wiadomymi rozumiemy podobnie jak równoważność równań z jedną niewiadomą. Słuszne też są dla nich analogiczne twierdzenia o równoważności równań. Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniających to równanie np. 2x+y=5 sa pary (0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, -1) itp. Takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli dane są dwa równania z dwiema niewiadomymi i szukamy par liczb, które spełniają jednocześnie każde z danych równań, to, mówimy, że dane równania tworzą układ równań. Rozwiązaniem układu równań nazywamy każdą parę liczb spełniających jednocześnie oba równania. Rozwiązać układ równań tzn. znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań. METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ. GraficznaAlgebraiczna ü Metoda podstawiania, ü Metoda przeciwnych współczynników Metoda podstawiania Np. Najpierw z któregoś równania wyznaczmy jedną niewiadomą (wyrażamy za pomocą drugiej niewiadomej) i otrzymane wyrażenie podstawiamy w miejsce wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Wyznaczamy y z I równania i podstawiamy w miejsce y do drugiego równania. Powstaje układ równoważny danemu. Rozwiązujemy ten układ: Rozwiązaniem jest para liczb (1, 2). Metoda przeciwnych współczynników Metoda ta polega na umiejętnym wykorzystaniu twierdzenia. Twierdzenie Jeżeli w układzie równań dodamy stronami równania, to otrzymamy równanie, które wraz dowolnym równaniem układu tworzy nowy układ równań, równoważny danemu. Np. Najpierw tak mnożymy obie strony jednego (lub obu równań) przez liczbę dobraną tak, by otrzymać równania, w których współczynniki przy jednej niewiadomej będą liczbami przeciwnymi. Dodajemy stronami równania otrzymanego układu otrzymujemy równanie: -2x+2x+2y+3y=-6+11 (Twierdzenia) otrzymujemy układ który rozwiązujemy metodą podstawiania i otrzymujemy parę liczb(4, 1). W powyższych równaniach układ miał dokładnie jedno rozwiązanie w postaci pary liczb. Może mieć też nieskończenie wiele rozwiązań, wiele par liczb. Np. 0x+0y=0 Może nie mieć rozwiązania.
Co to jest rejestr procesora zawierajacy adres nastepnego rozkazu do wykonania, w trakcie cyklu rozkazowego automatycznie zwiekszany o 1, chyba ze ostatnim wykonywanym rozkazem byl skuteczny skok liczba rzeczywista słownik. Jak działa Liczba Dziesietna: Co to jest dziesietnym systemie pozycyjnym, powszechnie użytkowanym na co dzien; w
Najmniejsza dwucyfrowa liczba to 10, a największa to 99. Najmniejsza liczba z trzema cyframi to 100, a największa 999. Tak więc pod względem cyfr 10 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 1 to najmniejsza jest największa dwucyfrowa liczba?Milionowa dwucyfrowa liczba to 99. Największa trzycyfrowa liczba to 999. Pod względem cyfr 99 jest największą liczbą. Ale pod względem wartości 99999 to największa jest najmniejsza cyfra?Najmniejsza jednocyfrowa liczba to 1 (jeden), a największa jednocyfrowa liczba to 9. Gdy cyfry są używane jako wielkość liczbowa, stają się liczbami. Tak więc pod względem cyfr 1 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 0 jest najmniejszą jest najmniejsza 3-cyfrowa liczba?Najniższa trzycyfrowa liczba to 100, a najwyższa trzycyfrowa liczba to 999. Tak więc pod względem cyfr 100 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 1 to najmniejsza najmniejsza dwucyfrowa liczba pierwsza?Najmniejsza dwucyfrowa liczba pierwsza to 11. Zatem pod względem cyfr 11 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 2 to najmniejsza jest najmniejsza liczba 6 cyfr?100 000 to najmniejsza liczba 6-cyfrowa, ponieważ 100000 – 1 daje liczbę 5-cyfrową. W rezultacie 100 000 to najmniejsza liczba 6-cyfrowa. 1 to najmniejsza liczba, jest różnica między najmniejszą 3-cyfrową liczbą a największą 2-cyfrową liczbą?Różnica między najmniejszą 3-cyfrową liczbą (100) a największą 2-cyfrową liczbą (99) wynosi 1. Tak więc, jeśli chodzi o cyfry, 100 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 0 jest najmniejszą jest liczba 2 większa niż najmniejsza 9-cyfrowa liczba?Ponieważ najmniejsza 9-cyfrowa liczba to 100000000. O 2 więcej niż ta liczba to 100000002. Tak więc, jeśli chodzi o cyfry, 100000002 jest najmniejszą liczbą. Ale pod względem wartości 1 to najmniejsza 0 jest liczbą cyfrową?W języku C jest ona dosłownie zdefiniowana jako „zero” (w szczególności ta wartość nie jest używana w żadnych obliczeniach). Jest to liczba i cyfra, która może być użyta do przedstawienia jej w postaci liczbowej. Odgrywa ważną rolę w matematyce jako addytywna identyczność liczb całkowitych, liczb rzeczywistych i innych struktur algebraicznych, ponieważ jest to jedyna liczba całkowita (i w konsekwencji jedyna liczba rzeczywista), która nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Innymi słowy, 0 to najmniejsza jest największa i najmniejsza liczba?Największą jest więc 8741. Aby uzyskać najniższą liczbę, najmniejsza cyfra 1 jest umieszczana na miejscu tysięcy, następna wyższa cyfra 4 na pozycji setki, jeszcze większa cyfra 7 na miejscu dziesiątki i największa cyfra 8 na miejscu jedynki lub jednostek . W rezultacie 1478 jest najmniejszą liczbą jest największa dwucyfrowa liczba pierwsza?Liczba to 25. liczba pierwsza (największa dwucyfrowa liczba pierwsza o podstawie 10), następująca po 89 i poprzedzająca uczysz 3-cyfrowej liczby?Najlepszym sposobem na nauczenie się trzycyfrowej liczby jest rozpoczęcie od jedynego miejsca i pójście w górę. Tak więc, jeśli uczysz liczby 512, zacznij od 2, a następnie przejdź do 5, a następnie 1. Możesz również użyć wykresów wartości miejsc, aby to wyjaśnić. Innym sposobem myślenia o tym jest to, że liczba 100 jest punktem wyjścia dla liczb trzycyfrowych, więc każda liczba większa niż 100 może być uważana za liczbę trzycyfrową. Wreszcie, możesz również użyć manipulacji, takich jak łączenie kostek lub bloków o podstawie dziesięciu, aby pomóc w budowaniu 2 jest liczbą pierwszą i dlaczego?Liczba pierwsza to dodatnia liczba całkowita, która nie ma żadnych wspólnych czynników z żadną inną liczbą. 2 ma tylko dwa różne dzielniki, ponieważ dzielniki 2 to 1 i 2. Jedynym powodem, dla którego większość liczb parzystych jest złożona, jest to, że z definicji muszą być dzielone przez dwa (liczba pierwsza).
Zbiór A ⊂R nazywa się gęsty w R jesli dla dowolnych x,y ∈R, x < y, istnieje element a ∈A taki, że x < a < y. Twierdzenie 3. Zbiory Q oraz R\Q są gęste w R. Innymi słowy, w każdym przedziale na prostej rzeczywistej jest jakaś liczba wymierna i jakaś liczba niewymierna. Dowód. (1) Q jest gęsty w R. Niech x,y ∈R,x < y. Chcemy
musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Nauczyciel na wykładzie zaprezentował funkcję, która dla liczb wymiernych przyjmuje 0, a dla niewymiernych 1 i powiedział, że ta funkcja jest ciągła. Jest to dla mnie niezrozumiałe, bo funkcja ciągła, dla której dziedziną są liczby rzeczywiste, kojarzy mi się tak, że jej wykres jest nieprzerwaną prostą, łamaną, krzywą, łukiem, czymkolwiek, jednak nieprzerwanym. A wykres tej funkcji to niepołączone ze sobą punkty. Czy fakt, że przeciwdziedzina to tylko 0 i 1, ma coś tu do rzeczy? Czy ta funkcja ma jakąś nazwę? Napiszcie mi coś ciekawego o niej Dilectus Użytkownik Posty: 2649 Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Pomógł: 368 razy Ciągła funkcja Post autor: Dilectus » 26 lut 2014, o 09:30 Jest to funkcja Dirichleta. Poczytaj o niej np. tu: . Cytuję z tego źródła: Funkcja ta ma szczególne własności: • jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna, • jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego, • zbiór jej ekstremów jest mocy continuum, • nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje, • jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, przy czym jej całka Lebesgue'a na dowolnym przedziale jest równa zeru, ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue'a zero. a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 09:46 Ale jak już dotarłeś do takich dziwnych funkcji, to popatrz na takie coś: \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\ \frac{1}{m} & x=\frac{k}{m}, NWD(k,m)=1\end{cases}.}\) ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 26 lut 2014, o 11:26 Dilectus pisze: • jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna, Musiałem coś porąbać, tzn. źle zapamiętać. Ale teraz rodzi się nowe pytanie! Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać. A poczytam o niej później i jeszcze napiszę jakieś pytania, jeśli będę miał ;p @a4karo NWD to największy wspólny dzielnik, tak? Dobrze rozumiem, że dla 2 wartość funkcji to 1 (x=2, k=2, m=1)? I dla 3 tak samo? Chyba źle rozumiem. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 14:08 Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa, jeśli istnieje liczba \(\displaystyle{ T>0}\) i dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny funkcji zachodzi równość: \(\displaystyle{ f\left( x+T\right)=f\left( x\right)}\) Liczbę \(\displaystyle{ T}\) spełniającą powyższy warunek nazywamy okresem funkcji. Twierdzenie: Każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów. Dowód: Funkcja jest okresowa więc posiada jakiś okres \(\displaystyle{ T>0}\). Wówczas łatwo przez indukcję pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ nT}\) także jest okresem tej funkcji. Stąd wynika teza twierdzenia. Zatem tak naprawdę każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów. Def: Okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji okresowej nazywamy najmniejszy z jej okresów (jeżeli taki istnieje). W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna. Dowód: Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją Dirichleta. Niech \(\displaystyle{ q}\) będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny \(\displaystyle{ x \in \QQ}\). Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right)}\) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \QQ}\) to także \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right)}\) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna). Zatem ostatecznie dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =f\left( x\right)}\) Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia). Jeśli masz jakieś jeszcze pytania to śmiało pisz, postaram się wyjaśnić a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 14:14 Tak. Przedstawiasz wymierne \(\displaystyle{ x}\) w postaci nieskracalnej \(\displaystyle{ \frac{k}{m}}\) i kładziesz \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{m}}\). Np. \(\displaystyle{ f(\frac{5}{2})=\frac{1}{2}, f(\frac{72}{9})=1}\) Ostatnio zmieniony 26 lut 2014, o 14:18 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Ułamek tworzymy używając \frac{}{}. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 26 lut 2014, o 20:37 bakala12 pisze: W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna. Dowód: Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją Dirichleta. Niech \(\displaystyle{ q}\) będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny \(\displaystyle{ x \in \QQ}\). Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right)}\) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \QQ}\) to także \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right)}\) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna). Zatem ostatecznie dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =f\left( x\right)}\) Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia). Super sprytne! I nawet zrozumiałem po chwili namysłu. Kurczę, matematyka jest wspaniała. Dziękuję. @a4karo Czyli jednak No to ciekawie. Dziękuję za przykład. PS ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym Ale w niektórych wymiernych również, prawda? A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 21:06 Ale w niektórych wymiernych również, prawda? A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego. Na te pytania nie odpowiem dopóki a4karo nie poprawi swojej funkcji tak, żeby była jednoznacznie określona w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\). a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 21:52 Oj, to prawda . Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 22:42 Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym. W \(\displaystyle{ x=0}\) jest ciągła Ale w pozostałych punktach wymiernych jest już nieciągła tak, jak mówisz. a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 27 lut 2014, o 07:35 Aj, bo napisałem 0, a chciałem napisać 1. Trudno, wtopiłem. Jest jeszcze jedna nieścisłość w mojej definicji. Żeby doprecyzować, ustalmy, że \(\displaystyle{ m>0}\). A zatem pełna definicja; \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\ 1 & x=0\\ 1/m & x=k/m, (k,m)=1, m>0, n,m\in\ZZ\end{cases}}\) Gdyby jakaś liczba niewymierna \(\displaystyle{ r}\) była jej okresem, to przy dowolnym wymiernym \(\displaystyle{ w}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ f(w)=f(w+r)}\). Ale \(\displaystyle{ w+r}\) jest niewymierne, więc... \(\displaystyle{ f}\) jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go Dilectus Użytkownik Posty: 2649 Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Pomógł: 368 razy Ciągła funkcja Post autor: Dilectus » 27 lut 2014, o 09:11 f jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go Moja nieśmiała propozycja: \(\displaystyle{ T=1?}\) a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 27 lut 2014, o 09:15 Zadanie dla musialmi: udowodnij, że \(\displaystyle{ T=1}\) jest okresem podstawowym. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 27 lut 2014, o 10:21 Nie sądzę, że umiem to udowodnić. Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) całkowitego (zarówno dodatniego, jak i ujemnego) \(\displaystyle{ k=x, m=1}\). Zatem dla całkowitych \(\displaystyle{ x}\) istnieje zależność \(\displaystyle{ f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( x+T\right)}\) (\(\displaystyle{ f\left( 0\right)=1}\) z definicji). Dla \(\displaystyle{ x}\) wymiernych \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{1}{m}}\). Zakładając, że 1 jest okresem, to \(\displaystyle{ f\left( x+1\right)=\frac{1}{m}}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( \frac{k}{m}\right) =f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( \frac{k+m}{m}\right)}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( \frac{k}{m} \right)=f\left( \frac{k+m}{m} \right) = \frac{1}{m}}\). I rzeczywiście tak jest. Dla \(\displaystyle{ x}\) niewymiernych funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\). W każdym przedziale \(\displaystyle{ \left( x; x+a\right)}\) dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R_+}}\) jest tyle samo liczb niewymiernych. Zatem każda liczba jest okresem dla takiego przypadku. W takim razie, \(\displaystyle{ 1}\) jest okresem. No i teraz w temacie tego, że jest okresem PODSTAWOWYM. Jeśli istniałby mniejszy okres, to musiałby należeć do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0;1\right)}\) oraz być prezentowalnym w postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n}}}\), żeby spełniał warunek z pierwszego akapitu. No i zapewne ta postać koliduje jakoś z warunkiem z drugiego akapitu. Ale nie wiem jak i dlaczego. No i oprócz tego problemu na samym końcu, nie wiem czy pozostałe dowody są w porządku. leszczu450 Użytkownik Posty: 4414 Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Toruń Podziękował: 1589 razy Pomógł: 364 razy Ciągła funkcja Post autor: leszczu450 » 27 lut 2014, o 10:33 Przydatny jest też następujacy fakt: Zbiór punktów ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\). Zbiór punktów nieciągłości tej funkcji jest zbiorem \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\).
Odp: najmniejsza liczba trzy cyfrowa to 110. Wyjaśnienie: 110:11=10. 110:2=55. najmniejsza*. report flag outlined. najlepsza liczba trzy cyfrowa podzielna przez 11 i 2 to 110. report flag outlined.
luz2c. 9s7cjde86u.pages.dev/49s7cjde86u.pages.dev/989s7cjde86u.pages.dev/779s7cjde86u.pages.dev/749s7cjde86u.pages.dev/959s7cjde86u.pages.dev/559s7cjde86u.pages.dev/749s7cjde86u.pages.dev/35
liczba r jest najmniejsza liczba rzeczywista
